“以错纠错”的案例分析

文／罗增儒

　　在文［1］中，笔者认为：“学生在解题中出错是学习活动的必然现象，教师对错例的处理是解题教学的正常业务，并且，错例剖析具有正例示范所不可替代的作用，两者相辅相成构成完整的解题教学”．下面发生在特级教师身上的“以错纠错”现象，竟能在多家刊物延续十年之久，则促使笔者进一步思考：错例分析可能对教师的教学观念和业务素质都提出了更高的要求．
　　一、出示案例
　　我们先引述3处典型做法．
　　1.早在1990年，文［2］曾对一道数列极限题指出“思维定势在解题中的消极影响”；然后在文［3］、［4］中表达了同样的看法．最近（2001年5月）又在文［5］中将欠妥的认识原原本本发表出来（见原文例4）：
　　例1　若 （3ａ_n＋4ｂ_n）＝8， （6ａ_n－ｂ_n）＝1，求 （3ａ_n＋ｂ_n）．
　　学生对“和的极限等于极限的和”的结论十分熟悉，受其影响，产生了下列错误解法：
　　由

　　得

　　①×2－②，可得
　　 ｂ_n＝15／9，
　　并求得 ａ_n＝4／9．
　　∴　 （3ａ_n＋ｂ_n）＝3 ａ_n＋ ｂ_n＝12／9＋15／9＝3．
　　这是一种错误的解法．因为按照极限运算法则，若 ａ_n＝Ａ， ｂ_n＝Ｂ，则才有 （ａ_n＋ｂ_n）＝ ａ_n＋ ｂ_n＝Ａ＋Ｂ．反之不真，而由 （3ａ_n＋ｂ_n）＝8，
　　 （6ａ_n－ｂ_n）＝1，
　　不一定保证 ａ_n与 ｂ_n存在．比如
　　ａ_n＝4／3＋（1／3）ｎ²，ｂ_n＝1－（1／4）ｎ²，
　　则有 （3ａ_n＋4ｂ_n）＝8，
　　但是ａ_n与ｂ_n均不存在极限．
　　正解： （3ａ_n＋ｂ_n）＝（1／3） （3ａ_n＋4ｂ_n）＋（1／3） （6ａ_n－ｂ_n）
　　＝8／3＋1／3＝3．
　　某些法则或定理，其结论是在限定条件下产生的．如果平时练习，限定条件的问题练多了，就容易忽视限定条件，造成对法则、定理理解的偏差，产生定势思维．教师在课堂教学时，应该把定理、法则成立的条件、适应的范围放在第一位讲，就是让学生认识到条件在结论中的重要地位，把条件与结论等同起来强调，并通过恰当的反例来说明．
　　要克服思维定势的消极影响，就要从加强双基教学入手，加强数学基本思想和方法的训练，排除由于只靠记忆一些孤立方法与技巧而形成的定势，鼓励和引导学生独立思考、探索最佳解题方法，让学生从不同角度多方位地去考虑问题，拓展思维的深度与广度．（引文完）
　　2.数学通报1999年第11期（Ｐ．43）文［6］记述了一次公开课：在一次公开课评比中，有位老师在讲授“数列极限的运算法则”一课时，曾举了这样一个例子（本文记为例2）：
　　例2　已知 （2ａ_n＋3ｂ_n）＝5， （ａ_n－ｂ_n）＝2，求 （ａ_n＋ｂ_n）．
　　当时有位学生提出这样一种解法：
　　解：设 ａ_n＝Ａ， ｂ_n＝Ｂ，则由题设可知
　　 （2ａ_n＋3ｂ_n）＝2 ａ_n＋3 ｂ_n＝2Ａ＋3Ｂ＝5，　　①
　　 （а_n－ｂ_n）＝ ａ_n－ ｂ_n＝Ａ－Ｂ＝2．　　②
　　联立①，②解得
　　Ａ＝11／5，Ｂ＝1／5．
　　∴ （ａ_n＋ｂ_n）＝ ａ_n＋ ｂ_n＝Ａ＋Ｂ＝11／5＋1／5＝12／5．
　　对于上述解法，这位教师结合数列极限的运算法则引导学生提出了问题： ａ_n和 ｂ_n一定存在吗?
　　随后，教师鲜明地指出：由题设我们不能判断 ａ_n和 ｂ_n是否一定存在，从而上述解法缺乏依据，是错误的．关于这类问题，我们常用“待定系数法”求解．
　　另解：设ａ_n＋ｂ_n＝ｘ（2ａ_n＋3ｂ_n）＋ｙ（ａ_n－ｂ_n）（其中ｘ，ｙ为待定的系数），则
　　ａ_n＋ｂ_n＝（2ｘ＋ｙ）ａ_n＋（3ｘ－ｙ）ｂ_n，
　　从而有

　　解之得　ｘ＝2／5，ｙ＝1／5．
　　∴　ａ_n＋ｂ_n＝（2／5）（2ａ_n＋3ｂ_n）＋（1／5）（ａ_n－ｂ_n），
　　∴　 （ａ_n＋ｂ_n）＝ ［（2／5）（2ａ_n＋3ｂ_n）＋（1／5）（ａ_n－ｂ_n）］＝（2／5） （2ａ_n＋3ｂ_n）＋（1／5） （ａ_n－ｂ_n）＝2／5×5＋1／5×2＝12／5．
　　这种讲授方法既巩固了数列极限的运算法则，又充分暴露了学生存在的问题，给学生留下了极为深刻的印象，深受评委们的一致好评．（引文完）
　　3.江苏省常州高级中学（是一所有90年历史的江南名校）数学组根据多年教学积累的经验写了一本书《数学题误解分析（高中）》，其第6章题30如下（见文［7］Ｐ．342，本文记为例3）：
　　例3　已知 （2ａ_n＋3ｂ_n）＝7， （3ａ_n－2ｂ_n）＝4，求 （2ａ_n＋ｂ_n）之值．
　　误解：∵ （2ａ_n＋3ｂ_n）＝7， （3ａ_n－2ｂ_n）＝4，
　　

　　①×2＋②×3，得
　　13 ａ_n＝26，
　　∴ ａ_n＝2．
　　代入式①，得
　　 ｂ_n＝1．
　　∴　 （2ａ_n＋ｂ_n）＝2 ａ_n＋ ｂ_n＝2×2＋1＝5．
　　正确解法：设ｍ（2ａ_n＋3ｂ_n）＋ｐ（3ａ_n－2ｂ_n）＝ｋ（2ａ_n＋ｂ_n）．
　　其中ｍ，ｐ，ｋ均为待定的整数，则比较ａ_n，ｂ_n的系数得

　　由式①、②消去ｋ，得
　　2ｍ＋3ｐ＝2（3ｍ－2ｐ）＝6ｍ－4ｐ，
　　∴　　4ｍ＝7ｐ．
　　当ｍ，ｐ分别取7和4时，ｋ＝13．
　　∴　2ａ_n＋ｂ_n＝（7／13）（2ａ_n＋3ｂ_n）＋（4／13）（3ａ_n－2ｂ_n）．
　　∴　 （2ａ_n＋ｂ_n）＝（7／13） （2ａ_n＋3ｂ_n）＋（4／13） （3ａ_n－2ｂ_n）＝7／13×7＋4／13×4＝5．
　　错因分析与解题指导：已知 （2ａ_n＋3ｂ_n）＝7， （3ａ_n－2ｂ_n）＝4，并不意味着 ａ_n、 ｂ_n存在，在误解中利用数列极限的运算法则： （ａ_n±ｂ_n）＝ ａ_n± ｂ_n，默认 ａ_n与 ｂ_n存在，这是错误的．要求 （2ａ_n＋ｂ_n），就必须将2ａ_n＋ｂ_n去用（2ａ_n＋3ｂ_n）与（3ａ_n－2ｂ_n）表示出来，为此可以用如正确解答中那样用待定系数法来解．显然ｍ、ｐ的值不是惟一的，但是对不同的ｍ、ｐ之值求得的极限值是相同的，因此可以取使计算较为方便的整数值．（引文完）
　　以上详细引述的3个例子只有数字上的微小区别，而教师（包括评委）的看法是完全一致的．类似的看法还可参见文［8］～［12］．
　　虽然，大家的看法如此一致，如此长久，但文［6］的作者仍能力排众议，大声发问：“由题设，真的不能判断 ａ_n和 ｂ_n是否存在吗?”回答是否定的．教师的“纠错”比学生错得更多．
　　二、案例分析
　　我们以例1为主来进行分析，弄清学生的错误、教师的错误、错误的性质和应吸取的教训等．
　　1.学生解法的认识
　　学生的解法中有两个合理的成分：其一是能紧紧抓住两个已知条件，综合使用；其二是想到运用极限运算法则；得出的极限值也确为所求．
　　缺点是默认了 ａ_n与 ｂ_n的存在；也不会整体使用极限运算法则，这可以从3个方面来分析．
　　（1）知识性错误
　　表现在：没有验证ａ_n与ｂ_n极限的存在性就使用极限运算法则；没有证明或证明不了ａ_n与ｂ_n极限的存在性；还不会变通使用（如借用待定系数法）极限运算法则．
　　（2）逻辑性错误
　　表现为逻辑上的“不能推出”：跳过ａ_n与ｂ_n极限存在性的必要前提，直接使用极限运算法则．但此处仅仅为未验证前提，而并非“前提不真”．对此，“教师”的错误性质比学生的默认更有问题，下面会谈到．
　　（3）心理性错误
　　表现为“潜在假设”，默认ａ_n与ｂ_n极限的存在性，既未想到要证明，更未给出证明．
　　由于在已知条件下，ａ_n与ｂ_n的极限确实存在，所以，学生的错误属于“对而不全”，缺少了关键步骤．
　　这个事实说明，学生的学习过程，是以自身已有的知识和经验为基础的主动建构活动．其“对而不全”的解法，正是学生对该数学问题的一种“替代观念”，是建构活动的一个产物，既有一定的合理性，又需要完善．接下来的反审活动，有助于学生掌握元认知知识，获得元认知体验和进行元认知调控．
　　2.教师认为“不一定保证 ａ_n与 ｂ_n存在”是不对的
　　事实上，在已知条件下，用待定系数法不仅可以求 （3ａ_n＋ｂ_n），而且可以求 （αａ_n＋βｂ_n），取α＝1，β＝0或α＝0，β＝1只不过是一种更简单的特殊情况．我们来给出一个更一般的结论．
　　命题1　若 （α₁ａ_n＋β₁ｂ_n）＝ｃ₁， （α₂ａ_n＋β₂ｂ_n）＝ｃ₂，
　　则当ａ₁β₂－α₂β₁≠0时，两个极限 ａ_n与 ｂ_n均存在，且
　　 ａ_n＝ｃ₁β₂－ｃ₂β₁／α₁β₂－α₂β₁， ｂ_n＝α₁ｃ₂－α₂ｃ₁／α₁β₂－α₂β₁．
　　证明：设
　　ａ_n＝ｘ（α₁ａ_n＋β₁ｂ_n）＋ｙ（α₂ａ_n＋β₂ｂ_n）
　　＝（α₁ｘ＋α₂ｙ）ａ_n＋（β₁ｘ＋β₂ｙ）ｂ_n，
　　令

　　解得　ｘ＝β₂／（α₁β₂－α₂β₁），ｙ＝－β₁／（α₁β₂－α₂β₁）．
　　从而
　　 ［x（α₁ａ_n＋β₁ｂ_n）＋ｙ（α₂ａ_n＋β₂ｂ_n）］
　　＝ｘ （α₁ａ_n＋β₁ｂ_n）＋ｙ （α₂ａ_n＋β₂ｂ_n）
　　＝ｘｃ₁＋ｙｃ₂＝（ｃ₁β₂－ｃ₂β₁）／（α₁β₂－α₂β₁）．
　　即　 ａ_n＝（ｃ₁β₂－ｃ₂β₁）／（α₁β₂－α₂β₁）．
　　同理可确定ｂ_n极限的存在性，并计算出
　　 ｂ_n＝（α₁ｃ₂－α₂ｃ₁）／（α₁β₂－α₂β₁）．
　　（1）取α₁＝3，β₁＝4，ｃ₁＝8，α₂＝6，β₂＝－1，ｃ₂＝1，可得 ａ_n＝4／9， ｂ_n＝5／3．这就是例1．也可以用文［2］正解的方法求出
　　 ａ_n＝ ［（1／27）（3ａ_n＋4ｂ_n）＋（4／27）（6ａ_n－ｂ_n）］
　　＝（1／27） （3ａ_n＋4ｂ_n）＋（4／27） （6ａ_n－ｂ_n）＝8／27＋4／27＝4／9．
　　 ｂ_n＝ ［（2／9）（3ａ_n＋4ｂ_n）－（1／9）（6ａ_n－ｂ_n）］
　　＝（2／9） （3ａ_n＋4ｂ_n）－（1／9） （6ａ_n－ｂ_n）＝16／9－1／9＝5／3．
　　（2）取α₁＝2，β₁＝3，ｃ₁＝5，α₂＝1，β₂＝－1，ｃ₂＝2，这便得例2，有
　　 ａ_n＝（1／5） （2ａ_n＋3ｂ_n）＋（3／5） （ａ_n－ｂ_n）
　　＝1／5×5＋3／5×2＝11／5，
　　 ｂ_n＝（1／5） （2ａ_n＋3ｂ_n）－（2／5） （ａ_n－ｂ_n）
　　＝1／5×5－2／5×2＝1／5．
　　（3）取α₁＝2，β₁＝3，ｃ₁＝7，α₂＝3，β₂＝－2，ｃ₂＝4，这便得例3，确实有 ａ_n＝2， ｂ_n＝1．
　　应该说，求 ａ_n、 ｂ_n与求 （αａ_n＋βｂ_n）道理是一样的，为什么会有这么多的教师长期坚持“ ａ_n、 ｂ_n不一定存在”呢?这除有知识、逻辑因素外，而对多数人来说，恐怕还有一个“人云亦云”，迷信权威、迷信刊物的心理性错误．我们说，失去自信比缺少知识更为可怕．
　　3.反例“ａ_n＝4／3＋ｎ²／3，ｂ_n＝1－ｎ²／4”的错误根源
　　上面已经严格证明了 ａ_n与 ｂ_n的存在性（以α₁β₂－α₂β₁≠0为前提），因而文［2］作者一次又一次重复给出的反例肯定是错误的，问题是应该找出错误的原因，弄清错误的性质．
　　（1）检验可以发现错误
　　把ａ_n＝4／3＋ｎ²／3，ｂ_n＝1－ｎ²／4代入已知条件，有
　　 （3ａ_n＋4ｂ_n）＝ 8＝8．
　　但 （6ａ_n－ｂ_n）＝ （7＋9／4ｎ²）
　　不存在，更不等于1．
　　所以，文［2］的反例并不能成为反例．其之所以成为反例，是作者根据不充分的前提（来验证第2个条件）得出的，逻辑上犯有“不能推出”的错误．
　　（2）误举反例的原因分析
　　①首先是对题目中有两个条件重视不够，在找反例时，主要依据“若 ａ_n、 ｂ_n存在，则 （ａ_n＋ｂ_n）＝ ａ_n＋ ｂ_n，反之不真（思维定势）”．这对只有一个条件是成立的；据此找出的反例也只验证第1个条件，而不验证第2个条件，这可能也是“反之不真”思维定势的负迁移．
　　②其次是对下面的结论不知道，或未认真思考过：
　　命题2　若 （α₁ａ_n＋β₁ｂ_n）＝ｃ₁， （α₂ａ_n＋β₂ｂ_n）＝ｃ₂．
　　则有
　　（ｉ）当α₁β₂－α₂β₁≠0时， ａ_n、 ｂ_n均存在；
　　（ｉｉ）当α₁β₂－α₂β₁＝0且α₁ｃ₂－α₂ｃ₁＝0时，则ａ_n，ｂ_n的极限不一定存在．（文［2］的反例适用这一情况）
　　（ｉｉｉ）当α₁β₂－α₂β₁＝0且α₁ｃ₂－α₂ｃ₁≠0，则ａ_n，ｂ_n的极限均不存在．
　　这实质上是两直线相交、重合、平行判别法则的移植或线性方程组理论的简单应用．
　　对比“反例”所表现出来的两个错误根源，我们认为主要还是知识原因，由于教师没有看透题目的数学实质，从而也没有看透学生的错误性质，所进行的大段文字分析缺少数学针对性．所以，对每一个教师而言，提高数学专业水平是一个永无止境的课题．
　　4.试作一个探究性的教学设计
　　本文“以错纠错”的例子，持续了10年以上的时间，发表在多家刊物上，还出现在文［6］正确纠正之后，这对读者、编者和作者都有很多教训，也错过了一个培养学生创新精神的机会．我们愿在例题数学实质较为清楚的时候，提出一个教学设计，分为7步．
　　（1）提出问题，暴露学生的真实思想．
　　其过程是给出例1（或例2、例3等，还可以根据命题2编拟3种类型的例题），让学生得出不完整的解法．
　　（2）反思，引发认知冲突．
　　教师与学生一起检查每一步的依据，发现使用极限运算法则需要 ａ_n、 ｂ_n的存在性做前提．前提存在吗?有两种可能：或举一个反例来否定，或给出一个证明来肯定．
　　（3）分两大组自主探索，自我反省．
　　按照证实与证伪可以分两大组，下分小组，每组三五人，让学生在学习共同体中自主探索，教师巡回指导，这将是一个十分生动的过程．
　　（4）得出 ａ_n、 ｂ_n的求法．
　　这样，学生的求解就完整了．可以分成三步：
　　①求 ａ_n＝…＝4／9；
　　②求 ｂ_n＝…＝15／9；
　　③求 （3ａ_n＋ｂ_n）＝…＝3．
　　（5）进行解题分析，得出改进解法．
　　引导学生认识到：
　　①求 ａ_n、 ｂ_n所使用的方法也可以直接用到求 （3ａ_n＋ｂ_n）上来．
　　②先分别求 ａ_n、 ｂ_n，再合并得结论 （3ａ_n＋ｂ_n）有思维回路：

 （3ａ_n＋ｂ_n）．（合）
　　删除中间步骤，可得
　　 （3ａ_n＋ｂ_n）＝ ［（1／3）（3ａ_n＋4ｂ_n）＋（1／3）（6ａ_n－ｂ_n）］
　　＝（1／3） （3ａ_n＋4ｂ_n）＋（1／3） （6ａ_n－ｂ_n）＝8／3＋1／3＝3．
　　（6）探索一般性．
　　①考虑例1的结论一般化改为，求 （αａ_n＋βｂ_n）；
　　②考虑条件、结论均一般化，让学生发现命题1（α₁β₂－α₂β₁≠0）；
　　③再加一个层次，允许α₁β₂－α₂β₁＝0，让学生再发现命题2．
　　（7）运用建构主义和元认知的观点（不出现名词）进行总结．
　　参考文献
　　1　罗增儒．解题分析——谈错例剖析．中学数学教学参考，1999，12
　　2　赵春祥．思维定势在解题中的消极影响举例．中学教研（数学），1990，6
　　3　赵春祥．从整体结构上解数列题．教学月刊·中学理科版，1998，10
　　4　赵春祥．数列与数列极限中应注意的几个问题．教学月刊·中学理科版，1999，6
　　5　赵春祥．思维定势消极作用例说．中学数学研究（广州），2001，5
　　6　王秀彩．“众所认可”的就一定是“正确”的吗?数学通报，1999，11
　　7　杨浩清主编．数学题误解分析（高中）．南京：东南大学出版社，1996
　　8　唐宗保．浅谈线性组合在中学数学解题中的运用．数学通讯，1996，10
　　9　许育群．解数列与极限问题的几类错误浅析．数理化学习（高中版），1997，22
　　10　屈瑞东．数列极限运算易错两例．数理天地，1999，11
　　11　童其林．例谈待定系数法在解题中的应用．考试，2000，4
　　12　唐宗保．常见非等价变形的成因分析．数学通讯，2001，9